남자 아이를 낳을 때 까지 계속 출산한다면 남녀비율? (Feat. 등비수열, 아들 딸 문제)

불과 십여 년 전만 해도 남아선호사상이 강해서 한 가정에서 남자아이를 낳을 때까지 계속해서 출산하는 경우가 많았다.

심지어 3대 독자 5대 독자 이런 단어도 있다.

남아선호사상이 강해서 한가정에서 남자아이를 낳을 때까지 계속해서 아이를 낳게 된다면 전체 인구로 보았을 때 여자의 인구수가 남자 인구수보다 더 많아지게 될까?

 

1번째 시도	2번째	3번째	4번째	확률
아들				1/2
딸	아들			1/4
딸	딸	아들		1/8
딸	딸	딸	아들	1/16

우선 표를 확인해보자.. 이해해도 뭐 그래서 어쩌라는 건지? 라는 생각이 들 것이다.

이해하기 쉽게 마을에 총 8가구가 있다고 가정해보자. (결과가 확률에 비슷하게 나온다는 가정으로 계산)

1번째 시도에서 4가구는 아들, 4가구는 딸을 낳을 것이다. (4가구는 출산 Stop)

2번째 시도에서는 딸을 낳은 4가구가 다시 시도해서 2가구가 아들, 2가구가 딸 (2가구 출산 Stop)

3번째 시도에서는 2번째에서 아들을 낳지 못한 2가구가 다시 시도, 1가구 아들 1가구 딸

4번째 시도에서는 아들을 갖지 못한 1가구가 다시 시도 1/2 확률

위의 결과를 남자 여자 수로 생각해보면

1번째 시도에서는 남자4+여자4

2번째 시도에서는 남자2+여자2

3번째 시도에서는 남자1+여자1

4번째 시도에서는 남자0.5+여자0.5  (0.5명이라는 게 말이 안 되지만 확률상)

매 시도마다 남자와 여자 수가 같음을 알 수 있다.

 

 

남자가 나올 확률을 계산해보면 아래 표와 같다.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	남자확률
아들									1/2
딸	아들								1/4
딸	딸	아들							1/8
딸	딸	딸	아들						1/16
딸	딸	딸	딸	아들					1/32
딸	딸	딸	딸	딸	아들				1/64
딸	딸	딸	딸	딸	딸	아들			1/128
딸	딸	딸	딸	딸	딸	딸	아들		1/256
딸	딸	딸	딸	딸	딸	딸	딸	아들	1/512

계속해서 2의 배수로 확률이 감소하는 것을 알 수 있다. 표를 수식으로 정리하자면

 

한 가구에서 남자와 여자를 가질 기댓값(평균값)은 1이다.

 

 

큰 관점에서 보게 된다면 남아선호사상으로 남자아이가 나올 때까지 아이를 낳게 되면 한 가정은 딸 1명 그리고 아들 1명을 가지게 된다.